La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia la manera de organizar, contar y combinar determinados elementos pertenecientes a conjuntos finitos. Su principal objetivo es comprender las distintas formas en que estos elementos se pueden agrupar cumpliendo unas condiciones determinadas.
La Combinatoria permite resolver problemas como calcular el número de resultados posibles, en experimentos complejos, sin enumerar todas las posibilidades, lo cual es de vital importancia entre otras muchas ramas en: Estadística y Probabilidad, Optimización de Recursos, Medicina y Seguridad Informática.
Población ⇒ Total de elementos disponibles para estudiar.
Muestra ⇒ Un subconjunto del total de elementos que se eligen o se agrupan.
Principio Fundamental del Conteo ⇒ Si un proceso se puede hacer de 'A' formas y un segundo proceso, a su vez se puede hacer de 'B' formas diferentes, entonces el número de formas en que pueden ocurrir ambos procesos es igual al producto de las formas A x B.
Factorial de un número N(!) ⇒ Es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta hasta N. (3! = 1x2x3 = 6).
Orden ⇒ Determinar si el orden de colocación de los elementos influye o no influye en la secuencia de la agrupación.
Repetición ⇒ Determinar si los elementos pueden aparecer más de una vez en la agrupación, es decir si pueden o no pueden repetirse.
Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 3 elementos formado por: a, b, c.
A este conjunto se le denomina Población.
Llamaremos m a la cantidad de elementos de este conjunto m = 3.
Si queremos saber cuántos grupos distintos de 2 elementos podemos formar con los elementos de ese conjunto (a, b, c), (llamaremos n a la cantidad de elementos de cada grupo n=2), tendremos los siguientes casos:
Si en cada grupo no se pueden repetir los elementos, los grupos serán:
ab - ac | ba - bc | ca - cb, → total 6 grupos.
Si en cada grupo si se pueden repetir los elementos, los grupos serán:
aa - ab - ac | bb - ba - bc | cc - ca - cb, → total 9 grupos.
Para formar los distintos grupos es necesario tener en cuenta los tres Conceptos siguientes.
Si tiene influencia que los elementos del conjunto estén ordenados o no.
Si por ejemplo, los elementos son cartas de una baraja, el grupo ab es el mismo que el ba → un AS y una Dama es lo mismo que una Dama y un AS → por tanto son un solo grupo.
Cuando no influye el Orden de colocación de los elementos, los grupos serán Combinaciones.
Pero si los elementos son números, el grupo ab ≠ ba → 12 no es lo mismo que 21 → por tanto son dos grupos distintos
Cuando si influye el Orden de colocación los grupos podrán ser Variaciones o Permutaciones.
Si en cada grupo entran todos los elementos del conjunto o una parte de ellos.
Que no entren todos los elementos del conjunto. En el ejemplo cada grupo tiene 2 elementos (n=2) de los 3 elementos que tiene el conjunto (m=3) → es decir n < m.Que si entren todos los elementos del conjunto. Supongamos que queremos formar grupos de 3 elementos (n=3) con los 3 elementos que tiene el conjunto (m=3) → es decir n = m.
Si entran todos los elementos los grupos serán Permutaciones.
Que se repitan o no sus elementos.
Cuando en cada grupo no se pueden repetir los elementos, los grupos podrán ser Combinaciones, Variaciones o Permutaciones ordinarias.
Cuando en cada grupo sí se pueden repetir los elementos, los grupos podrán ser Combinaciones, Variaciones o Permutaciones con repetición.
En las siguientes páginas, con breves lecciones y sencillos juegos, trataremos las materias que a continuación se relacionan.