Se llaman Permutaciones al número de grupos diferentes que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto, de tal manera que en cada grupo :
En las Permutaciones ordinarias los grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de sus elementos y estos no se pueden repetir. Se representan → Pm
Queremos saber los números de tres cifras distintas (n=3) que se pueden formar con los dígitos: 2, 4, 6, (m=3). Empezando por cada dígito podemos formar 2 números de tres cifras distintas: 246-264 → 426-462 → 624-642 Como tenemos 3 dígitos hemos formado en total → 3 x 2 = 6 números.
Observamos que en cada número:Las Variaciones ordinarias de 3 elementos tomados de 3 en 3 son →
V3,3 = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6 , que coinciden con las P3 = 6
Las Permutaciones ordinarias de 3 elementos coinciden con las Variaciones ordinarias de 3 elementos tomados de 3 en 3. → P3 = V3,3 = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 3! = 6
Por tanto, para calcular las Permutaciones ordinarias de m elementos podemos generalizar la fórmula: Pm = m!
Ejemplo ¿Cuántas contraseñas diferentes de cuatro caracteres distintos se pueden formar con los caracteres: 3, B, 5, v?
Las permutaciones circulares (PCm) son un caso especial que se emplea para ordenar los elementos en círculo, por ejemplo para sentarse alrededor de una mesa redonda.
Queremos saber de cuántas formas distintas se pueden sentar cinco amigos (m=5)en una mesa circular de 5 asientos. Influye el orden en que se sienten. → dice formas distintas Entran todos los amigos → cada uno tiene su asiento en la mesa. Y no se repiten → un amigo no puede sentarse en dos asientos. Al cumplir estas condiciones, una forma de sentarse serán las Permutaciones ordinarias de 5 elementos. → P5 = 5!
Pero hay que tener en cuanta que, una vez sentados, al ser la mesa circular, si todos los amigos se mueven un asiento a su derecha, la colocación en la mesa sigue siendo la misma, todos tienen a su derecha y a su izquierda al mismo amigo.
Como hay cinco asientos (m=5), cada una de las formas de sentarse se repite cinco veces. Luego, al total de las formas de sentarse hay que dividirlo por cinco (m=5).
PC5 = P5 / 5 = 5! / 5 = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / 5 = 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 formas distintas.
Este resultado coincide con las Permutaciones ordinarias de un elemento menos
(m-1 = cinco-1 = 4) → P4. Por tanto PCcinco = P(cinco-1) = P4 = 4! = 24
En las Permutaciones con repetición, los distintos grupos que se pueden formar se diferencian solo en el orden de colocación de los elementos y estos se repiten un número indicado de veces.
Queremos calcular los números de 4 cifras que se pueden formar con los dígitos del número 2.225 El número de elementos del conjunto es 4 → m = 4, y el 2 se repite 3 veces. Los números que se pueden formar son 4 → 5222 - 2522 - 2252 - 2225
Observamos que:El número 2 se repite tres veces. Los números se diferencian solo en el orden de colocación. Por tanto son Permutaciones con repetición de 4 elementos y uno de ellos se repite 3 veces. Se representa con la notación → PR43 = 4 (los 4 números que hemos obtenido), donde el índice indica el número de veces que se repiten los números.
¿Cómo se calculan?. Si en cada uno de los números que hemos formado, por ejemplo el 5222, el elemento que se repite 3 veces (el 2) fuera distinto → 5-134, obtendríamos los números → 5-134, 5-143, 5-314, 5-341, 5-413, 5-431 → 6 números distintos, que equivale a las permutaciones ordinarias de 3 elementos → (P3 = 3! = 6)
Esto implica que si a las PR43 las multiplicamos por las P3 (si no se repitieran 3 dígitos) obtenemos las P4 (que son las que se obtendrían si no se repitiera ningún dígito)
Ejemplo ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con los dígitos del número 44.666?
Para calcular el número de Permutaciones con repetición de M elementos que se repiten V1,V2,V3, ... ,Vn veces, se puede generalizar la fórmula →