Permutaciones

Se llaman Permutaciones al número de grupos diferentes que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto, de tal manera que en cada grupo :

• El orden de colocación de los elementos sí importa (los hace diferentes).
• Entran todos los elementos del conjunto.
• Si los elementos no se repiten, se llaman Permutaciones ordinarias o simplemente Permutaciones
• Si los elementos se repiten, se llaman Permutaciones con repetición.

Permutaciones ordinarias

En las Permutaciones ordinarias los grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de sus elementos y estos no se pueden repetir. Se representan → P_m

Queremos saber los números de tres cifras distintas (n=3) que se pueden formar con los dígitos: 2, 4, 6, (m=3).

Con cada dígito podemos formar 2 números de tres cifras:

Como tenemos 3 dígitos hemos formado en total → 3*2 = 6 números.

Observamos que en cada número:

• Influye el orden de colocación → no es lo mismo 246 que 264.
• Entran todos los dígitos → m = n.
• No se repiten → el enunciado dice tres cifras distintas.

Al cumplir estas condiciones serán Permutaciones ordinarias → P₃ = 6

Las Variaciones ordinarias de 3 elementos tomados de 3 en 3 son → V_3,3 = 3.(3-1).(3-2) = 3.2.1 = 3! = 6 , que coinciden con las P₃ = 6

Por tanto las Permutaciones ordinarias de 3 elementos coinciden con las Variaciones ordinarias de 3 elementos tomados de 3 en 3

Por tanto, para calcular las Permutaciones ordinarias de m elementos podemos generalizar la fórmula →

Ejemplo ¿Cuántas contraseñas diferentes de cuatro caracteres distintos se pueden formar con los caracteres:3, B, 5, v?

Permutaciones Circulares

Las permutaciones circulares (PC_m) son un caso especial que se emplea para ordenar los elementos en círculo, por ejemplo para sentarse alrededor de una mesa.

Queremos saber de cuántas formas distintas se pueden sentar seis amigos (m=6) en una mesa circular.

• Influye el orden en que se sienten.
• Entran todos los amigos → cada uno tiene su asiento en la mesa.
• Y no se repiten → un amigo no puede sentarse en dos asientos.

Al cumplir estas condiciones pueden ser Permutaciones ordinarias, P₆ = 6!

Pero hay que tener en cuanta que, una vez sentados, al ser la mesa circular, si todos los amigos se mueven un asiento a su derecha la colocación en la mesa sigue siendo la misma, todos tienen a su derecha y a su izquierda al mismo amigo.

Como hay seis (m=6) asientos, cada una de las formas de sentarse se repite seis (m=6) veces. Luego, al total de las formas de sentarse hay que dividirlo por seis (m=6).

Por tanto →
PC₆ = P₆ / 6 = 6! / 6 = (6.5.4.3.2.1) / 6 = 5.4.3.2.1 = 5! = 120 formas distintas

Este resultado coincide con las Permutaciones ordinarias de un elemento menos (m-1 = 6-1 = 5) → P₅, de donde se deduce que → PC₆ = P_(6-1) = P₅ = 5! = 120

Permutaciones con repetición

En las Permutaciones con repetición, los distintos grupos se diferencian solo en el orden de colocación de los elementos y estos se repiten un número indicado de veces.

Queremos calcular los números de 4 cifras que se pueden formar con los dígitos del número 2.225

El número de elementos del conjunto es 4 → m = 4, y el 2 se repite 3 veces. Los números que podemos formar son 4 → 5222 - 2522 - 2252 - 2225

Observamos que:

• El número 2 se repite tres veces.
• Los números se diferencian solo en el orden de colocación.
• Por tanto son Permutaciones con repetición de 4 elementos y uno de ellos se repite 3 veces.

Se representa con la notación → PR₄³ = 4 (los 4 números que hemos obtenido), donde el índice indica el número de veces que se repiten los números.

¿Cómo se calculan?. Con cada uno de los números que hemos formado, por ejemplo 5222, si el elemento que se repite 3 veces fuera distinto 5-134, obtendríamos los números 5-134, 5-143, 5-314, 5-341, 5-413, 5-431 → 6 números distintos, es decir las permutaciones ordinarias de 3 elementos → (P₃ = 3! = 6)

Esto implica que si a las PR₄³ las multiplicamos por las P₃ (si no se repitieran 3 dígitos) obtenemos las P₄ (que son las que se obtendrían si no se repitiera ningún dígito)

Ejemplo ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con los dígitos del número 44.666?

Para calcular el número de Permutaciones con repetición de m elementos que se repiten v₁,v₂,v₃,...,v_n veces, se puede generalizar la fórmula →

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