Variaciones

Se llaman Variaciones al número de grupos diferentes que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal manera que en cada grupo :

El orden de colocación de los elementos sí importa (los hace diferentes).
No entran todos los elementos del conjunto.
Si los elementos no se repiten, se llaman Variaciones ordinarias o simplemente Variaciones.
Si los elementos se pueden repetir, se llaman Variaciones con repetición.

Variaciones ordinarias

En las Variaciones ordinarias si importa el orden de colocación de los elementos y estos no se pueden repetir. Se representan → V_m,n

Queremos saber los números de dos cifras distintas (n=2) que se pueden formar con los dígitos: 1, 3, 5, 7, (m=4).
Con cada dígito podemos formar 3 números de dos cifras:
13-15-17 → 31-35-37 → 51-53-57 → 71-73-75
Como tenemos 4 dígitos hemos formado en total → 4 x 3 = 12 números.

Observamos que en cada número:

Influye el orden de colocación → no es lo mismo 13 que 31.
Y no se repiten → el enunciado dice dos cifras distintas.
No entran todos los dígitos → de cuatro dígitos entran dos.

Variaciones ordinarias

Para calcular las variaciones ordinarias, es decir el número de grupos que se pueden formar con m elementos tomados de n en n, se utiliza la fórmula siguiente:

V_m,n = m.(m-1).(m-2).(m-2). ... . (m-n+1)

(Esto equivale a n factores decrecientes a partir de m).

Calcular V_6,3 → determinanamos el último factor → m-n+1 = 6-3+1 = 4
luego V_6,3 = 6 x 5 x 4 = 120

(3 factores decrecientes a partir de 6)

Ejemplo ¿Cuántas contraseñas de dos caracteres distintos se pueden formar con los caracteres:A, 4, j, 6?

Datos. Tenemos 4 caracteres → m = 4; nos piden grupos de 2 → n = 2.

Sí importa el orden → No es lo mismo 4j que j4.
No se repiten → El enunciado dice caracteres distintos.
No entran todos los caracteres → De 4 tomamos 2.

Solución.

Según los datos, serán Variaciones ordinarias y el resultado es →
V_4,2 = 4 x 3 = 12 contraseñas

Las variaciones ordinarias también se pueden calcular por factoriales utilizando la fórmula:

V_m,n = m! / (m-n)!

Factorial de un número

Dado un número natural n, llamamos factorial de n, y lo denotamos por n!, al producto de los "n" factores consecutivos desde "n" hasta 1. → n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ····· x 3 x 2 x 1

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como: 0! = 1

Calcular V_4,2 → V_4,2 = 4! / (4-2)! = 4! / 2! = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 4 x 3 = 12

Variaciones con repetición

En las Variaciones con repetición los elementos se pueden repetir y el orden de colocación si influye. Se representan → VR_m,n

Queremos saber las Variaciones con repetición que se pueden formar con los siguientes dígitos: (2, 4, 6) (m = 3) .

De 1 cifra (n=1): Solo podemos formar 2-4-6 → (3) → VR_3,1= 3 → 3¹
De 2 cifras (n=2): Podemos formar:
22-24-26, 42-44-46, 62-64-66 → (9) → VR_3,2= 9 → 3²
De 3 cifras (n=3): Podemos formar:
- Empezando por 2 → 222-224-226-242-244-246-262-264-266 → (9)
- Empezando por 4 → 422-424-426-442-444-446-462-464-466 → (9)
- Empezando por 6 → 622-624-626-642-644-646-662-664-666 → (9)
- Total (27) → VR_3,3= 27 → 3³

Generalizando deducimos la fórmula para cálcular las Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n → VR_m,n = mⁿ

Ejemplo ¿Cuántas contraseñas de dos caracteres se pueden formar con los siguientes caracteres: A, 4, j, 6 ?

Datos. Tenemos 4 caracteres → m = 4 ; nos piden grupos de 2 → n = 2 .

Sí importa el orden → No es lo mismo 4j que j4.
Sí se pueden repetir → Una contraseñas puede ser AA o 66.
No entran todos los caracteres → m = 4; n = 2 → De 4 tomamos 2.

Solución.

Según los datos, serán Variaciones con repetición y el resultado es →
VR_4,2 = 4² = 4 x 4 = 16 contraseñas

Puede haber casos en los que el número de elementos (n) de los grupos a formar tenga más elementos (m) de los que nos dan para formar dichos grupos. Es decir → n > m.

Ejemplo Queremos saber cuántos números de tres cifras (n = 3) se pueden formar con los dígitos: 1 y 5 (m = 2).

Como tenemos dos dígitos (1 y 5), para formar números de tres cifras será necesario que se repita alguno de los dígitos.

Con cada dígito podemos formar 4 números de tres cifras: Si se repite el 1 → 111-115-151-511
Si se repite el 5 → 555-551-515-155
Al tener 2 dígitos, en total podemos formar → 2 x 4 = 8 números.

Observamos que en cada número:
Influye el orden de colocación → no es lo mismo 115 que 151.
Y se tiene que repetir algún dígito → n > m → 3 > 2
Por tanto serán Variaciones con repetición → VR_m,n VR_2,3 = 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 números

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