Variaciones

Se llaman Variaciones al número de grupos diferentes que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal manera que en cada grupo :

  • El orden de colocación de los elementos sí importa (los hace diferentes).
  • No entran todos los elementos del conjunto.
  • Si los elementos no se repiten, se llaman Variaciones ordinarias o simplemente Variaciones.
  • Si los elementos se pueden repetir, se llaman Variaciones con repetición.

Variaciones ordinarias

En las Variaciones ordinarias si importa el orden de colocación de los elementos y estos no se pueden repetir. Se representan → Vm,n

Queremos saber los números de dos cifras distintas (n=2) que se pueden formar con los dígitos: 1, 3, 5, 7 , (m=4).

Con cada dígito podemos formar 3 números de dos cifras:

13-15-17 → 31-35-37 → 51-53-57 → 71-73-75

Como tenemos 4 dígitos hemos formado en total → 4*3 = 12 números.

Observamos que en cada número:
  • Influye el orden de colocación → no es lo mismo 13 que 31.
  • Y no se repiten → el enunciado dice dos cifras distintas.
  • No entran todos los dígitos → de cuatro dígitos entran dos.
    • Al cumplir estas condiciones serán Variaciones ordinarias

Para calcular las variaciones ordinarias, es decir el número de grupos que se pueden formar con m elementos tomados de n en n, se utiliza la fórmula siguiente →

Vm,n = m.(m-1).(m-2).(m-2). ... . (m-n+1)
(Esto equivale a n factores decrecientes a partir de m).

Calcular V6,3 → determinanamos el último factor → m-n+1 = 6-3+1 = 4
luego V6,3 = 6.5.4 = 120 (3 factores decrecientes a partir de 6)

Ejemplo ¿Cuántas contraseñas de dos caracteres distintos se pueden formar con los caracteres:A, 4, j, 6?

Datos. Tenemos 4 caracteres → m = 4; nos piden grupos de 2 → n = 2.
  • Sí importa el orden → No es lo mismo 4j que j4.
  • No se repiten → El enunciado dice caracteres distintos.
  • No entran todos los caracteres → De 4 tomamos 2.
Solución.
  • Según los datos, serán Variaciones ordinarias y el resultado es →
  • V4,2 = 4 . 3 = 12 contraseñas

Las variaciones ordinarias también se pueden calcular por factoriales con la fórmula →

Vm,n = m! / (m-n)!

Factorial de un número

Dado un número natural n, llamamos factorial de n, y lo denotamos por n!, al producto de los "n" factores consecutivos desde "n" hasta 1. n! = n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 3 · 2 · 1

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como: 0! = 1

Calcular V6,3 → V6,3 = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = (6.5.4.3.2.1) / (3.2.1) = 6.5.4 = 120


Variaciones con repetición

En las Variaciones con repetición los elementos se pueden repetir y si influye su orden de colocación. Se representan → VRm,n

Queremos saber las Variaciones con repetición que se pueden formar con los dígitos: (2, 4, 6) (m = 3) .

De 1 cifra (n=1): Solo podemos formar 2-4-6 → (3) → VR3,1= 3 → 31

De 2 cifras n=2): Podemos formar: 22-24-26, 42-44-46, 62-64-66 → (9) → VR3,2= 9 → 32

De 3 cifras (n=3): Podemos formar:

  • Empezando por 2 → 222-224-226-244-246-266-264-242-262 → (9)
  • Empezando por 4 → 444-442-446-422-426-466-462-424-464 → (9)
  • Empezando por 6 → 666-662-664-622-624-644-642-646-626 → (9)
  • Total (27) → VR3,3= 27 → 33

Siguiendo este procedimiento, es fácil deducir la fórmula para generalizar el cálculo de las Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n

VRm,n = mn

Calcular VR5,3 → VR5,3 = 53 = 5.5.5 = 125

Ejemplo ¿Cuántas contraseñas de dos caracteres se pueden formar con los caracteres:A, 4, j, 6?

Datos. Tenemos 4 caracteres → m = 4; nos piden grupos de 2 → n = 2.
  • Sí importa el orden → No es lo mismo 4j que j4.
  • Sí se pueden repetir → Una contraseñas puede ser AA o 66.
  • No entran todos los caracteres → m = 4; n = 2 → De 4 tomamos 2.
Solución.
  • Según los datos, serán Variaciones con repetición y el resultado es →
  • VR4,2 = 42 = 4*4 = 16 contraseñas

Puede haber casos en que el número de elementos (n) de los grupos a formar tenga más elementos (m) de los que nos dan para formar dichos grupos. Es decir → n > m.

Por ejemplo: Queremos saber cuántos números de tres cifras (n = 3) se pueden formar con los dígitos: 1 y 5 (m = 2) .

Como solo tenemos dos dígitos (1 y 5), para formar números de tres cifras será necesario que se repita alguno de los dígitos.

Con cada dígito podemos formar 4 números de tres cifras:

Con el 1 → 111-115-151-511 Con el 1 → 555-551-515-155

Como tenemos 2 dígitos, en total podemos formar → 2*4 = 8 números.

Observamos que en cada número:
  • Influye el orden de colocación → no es lo mismo 115 que 151.
  • Y se tiene que repetir algún dígito. → n > m
    • Por tanto serán Variaciones con repetición → VRm,n
  • VR2,3 = 23 = 8 números


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