Combinaciones

Se llaman Combinaciones al número de grupos diferentes que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal manera que en cada grupo:

No importa el orden de colocación de los elementos.
No entran todos los elementos del conjunto.
Si los elementos no se repiten, se llaman Combinaciones ordinarias o simplemente Combinaciones.
Si los elementos se pueden repetir, se llaman Combinaciones con repetición.

Combinaciones ordinarias

En las Combinaciones ordinarias no importa el orden de colocación de los elementos y estos no se pueden repetir. Se representan → C_m,n

Para asistir a un concurso, queremos saber cuántos equipos de dos alumnos (n=2) se pueden formar con los cinco alumnos (m=5) que tienen mejores notas: Ana, Luis, Pedro, María y Javier.
Con Ana podemos formar 4 equipos → Ana-Luis, Ana-Pedro, Ana-María, Ana-Javier.
Con Luis podemos formar 3 equipos → Luis-Pedro, Luis-María, Luis-Javier. (Luis-Ana es el mismo que Ana-Luis)
Con Pedro podemos formar 2 equipos → Pedro-María, Pedro-Javier. (Pedro-Ana es el mismo que Ana-Pedro y Pedro-Luis es el mismo que Luis-Pedro)
Con María podemos formar solo 1 equipo → María-Javier. (María-Ana es el mismo que Ana-María, María-Luis es igual que Luis-María y María-Pedro es igual que Pedro-María)
Con Javier no se puede formar níngún equipo porque ya está incluido en los demás.
En total hemos formado → 4 + 3 + 2 + 1 = 10 equipos.

Observamos que en cada equipo:

No Influye el orden de colocación → Luis-Ana es el mismo que Ana-Luis.
No se repiten → un alumno no se puede repetir en un equipo.
No entran todos los alumnos → de cinco alumnos entran dos.

Al cumplir estas condiciones son Combinaciones ordinarias → C_5,2 = 10

Para encontrar una fórmula que nos ayude a calcular las Combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n analizamos el caso anterior.

Si en cada uno de los 10 equipos formados cambiamos el orden de los dos amigos, (lo hacemos con permutaciones de 2, P₂ = 2! = 2 x 1 = 2), obtenemos 2 equipos distintos, lo que nos daría un total de 10 x 2 = 20 equipos.
Cuando el orden si importa, el resultado son Variaciones ordinarias → V_5,2 = 20
Por lo tanto, podemos deduicir que → C_5,2 * P₂ = V_5,2 → despejando obtenemos:

C_5,2 = V_5,2 / P₂ = 20 / 2 = 10 Esta fórmula se puede generalizar para m elementos tomados de n en n
C_m,n = V_m,n / P_n

Ejemplo A la vuelta de las vacaciones se reunen seis amigos, y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se intercambiarán?.

Datos. Tenemos 6 amigos → m = 6; cada amigo saluda a otro, cada saludo se hace entre dos → n = 2. En cada saludo observamos que:

No importa el orden → Es igual que Luis salude a Ana que Ana a Luis.
No se repiten los amigos → No se puede saludar un amigo a si mismo.
No participan todos los amigos → De 6 participan 2.

Solución.
Según los datos, son Combinaciones → C_6,2 y el resultado es →

C_6,2 = V_6,2 / P₂ = (6x5) / (2x1) = 30 / 2 = 15 saludos.

El Número Combinatorio (m sobre n) → equivale a C_m,n

Combinaciones con repetición

En las Combinaciones con repeticióndos el orden de colocación de los elementos no influye y estos se pueden repetir. Los grupos se diferencian en algún elemento.

Se representan → CR_m,n

Queremos saber las Combinaciones con repetición que se pueden formar con los elementos del conjunto (A, B, C) → m=3.

De orden 1 (tomados de 1 en 1) (m=3; n=1)): Solo podemos formar A-B-C → (3)
CR_3,1 = 3 que coinciden con las Combinaciones ordinarias C_3,1 = 3.
Es decir CR_3,1 = C_{3, 1} (Observamos que 3 = 3+1-1).

De orden 2 (tomados de 2 en 2) (m=3; n=2): Para formarlas hacemos lo mismo que con las Combinaciones ordinarias, con la diferencia de que como se pueden repetir los elementos tendremos que añadir a cada una de las combinaciones de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. AA-AB-AC-BB-BC-CC = (6) → CR_3,2 = 6.
Este resultado coincide con las Combinaciones ordinarias con un elemento más (m=3+1=4) → C_4,2 = 4x3/2 = 6. Es decir: CR_3,2 = C_{4, 2} (Vemos que 4 = 3+2-1).

De orden 3 (tomados de 3 en 3) (m=3; n=3): Para formarlas hacemos lo mismo que en el caso anterior, añadiendo a cada una de las de orden dos el mismo elemento y todos los siguientes. AAA-AAB-AAC-ABB-ABC-ACC-BBB-BBC-BCC-CCC = (10) → CR_3,3 = 10.
Este resultado también coincide con las Combinaciones ordinarias con un elemento más (m=4+1=5) → C_5,3 = (5x4x3)/(3x2) = 60/6 = 10. Es decir, también CR_3,3 = C_{5, 3} (Observamos que 5 = 3+3-1)

Siguiendo este procedimiento, es fácil deducir la fórmula para generalizar el cálculo de las Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n

CR_m,n = C_{m+n-1, n}

Calcular CR_6,4 → C_{6+4-1, 4} = C_9,4 = (9x8x7x6) / (4x3x2x1) = 3024 / 24 = 126

Ejemplo ¿De cuántas formas podemos elegir tres pasteles en una pasteleria que tiene siete tipos distintos de pasteles?.

Datos. Tenemos 7 tipos de pasteles → m = 7; nos piden grupos de 3 → n = 3.

No importa el orden → da lo mismo nata y crema que crema y nata.
Sí se pueden repetir → podemos pedir 2 o 3 iguales.
No entran todos los pasteles → De 7 tomamos 3.

Solución.

Combinaciones con repetición

CR_7,3 = C_{7+3-1, 3} = C_{9, 3} = V_{9, 3}/P₃ = (9x8x7)/(3x2x1) = 504/6 = 84 formas.

Puede haber casos en que el número de elementos (n) de los grupos a formar tenga más elementos (m) de los que nos dan para formar dichos grupos. Es decir → n > m.

Ejemplo Queremos saber cuántas bandejas diferentes de cinco pasteles se pueden comprar en una pasteleria que solo tienen pasteles de tres tipos.

Como solo tenemos tres tipos de pasteles (m=3), para formar bandejas de cinco pasteles (n=5) será necesario que se repita alguno de los pasteles.

Observamos que en cada bandeja:

No Influye el orden de colocación.
Y se tiene que repetir algún pastel → n > m.

Por tanto serán Combinaciones con repetición → CR_3,5 CR_3,5 = C_{3+5-1, 5} = C_{7, 5} = V_{7, 5} / P₅ =
= (7x6x5x4x3) / (5x4x3x2x1) = (7x6) / (2x1) = 42 / 2 = 21 bandejas

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