Combinaciones

Se llaman Combinaciones al número de grupos diferentes que se pueden formar con los elementos de un conjunto, de tal manera que en cada grupo:

  • El orden de colocación de los elementos no importa.
  • No entran todos los elementos del conjunto.
  • Si los elementos no se repiten, se llaman Combinaciones ordinarias o simplemente Combinaciones.
  • Si los elementos se pueden repetir, se llaman Combinaciones con repetición.

Combinaciones ordinarias

En las Combinaciones ordinarias no importa el orden de colocación de los elementos y estos no se pueden repetir. Se representan → Cm,n

Para asistir a un concurso, queremos saber cuántos equipos de dos alumnos (n=2) se pueden formar con Ana, Luis, Pedro, María y Javier que son los cinco alumnos (m=5) que tienen mejores notas.

Con Ana podemos formar 4 equipos → Ana-Luis, Ana-Pedro, Ana-María, Ana-Javier.

Con Luis podemos formar 3 equipos (Luis-Ana es el mismo que Ana-Luis) → Luis-Pedro, Luis-María, Luis-Javier.

Con Pedro podemos formar 2 equipos (Pedro-Ana es el mismo que Ana-Pedro y Pedro-Luis es el mismo que Luis-Pedro)→ Pedro-María, Pedro-Javier.

Con María podemos formar solo 1 equipo (María-Ana es el mismo que Ana-María, María-Luis es igual que Luis-María y María-Pedro es igual que Pedro-María)→ María-Javier.

Con Javier no podemos formar níngún equipo porque ya está incluido en todos los demás.

En total hemos formado → 4 + 3 + 2 + 1 = 10 equipos.

Observamos que en cada equipo:

  • No Influye el orden de colocación → Luis-Ana es el mismo que Ana-Luis.
  • No se repiten → un alumno no se puede repetir en un equipo.
  • No entran todos los alumnos → de cinco alumnos entran dos.
Al cumplir estas condiciones serán Combinaciones ordinarias → C5,2 = 10

Para encontrar una fórmula que nos ayude a calcular las Combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n analizamos el ejemplo anterior.

Si en cada uno de los 10 equipos formados cambiamos el orden de los dos amigos, (lo hacemos con P2 = 2!), obtenemos 2 equipos distintos, lo que nos daría un total de 10*2 = 20 equipos y esto coincide con las V5,2. Por tanto →

C5,2 * P2 = V5,2 → C5,2 = V5,2 / P2 = (5*4) /(2*1) = 20 / 2 = 10

Esta fórmula se puede generalizar para m elementos tomados de n en n→

combinaciones

Ejemplo A la vuelta de las vacaciones se reunen seis amigos, y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se intercambiarán?.

Datos. Tenemos 6 amigos → m = 6; cada amigo saluda a otro, cada saludo se hace entre dos → n = 2. En cada saludo observamos que:
  • No importa el orden → Es igual que Luis salude a Ana que Ana a Luis.
  • No se repiten los amigos → No se puede saludar un amigo a si mismo.
  • No participan todos los amigos → De 6 participan 2.
Solución.
Según los datos, serán Combinaciones → C6,2 y el resultado es →
C6,2 = V6,2 / P2 = (6.5) / (2.1) = 30 / 2 = 15 saludos.

El Número Combinatorio (m sobre n) → combinaciones equivale a Cm,n
combinaciones = combinaciones=  combinaciones

Combinaciones con repetición

En las Combinaciones con repeticióndos los elementos se pueden repetir y no influye su orden de colocación. Los grupos se diferencian en algún elemento. Se representan → CRm,n

Queremos saber las Combinaciones con repetición que se pueden formar con los elementos del conjunto (A, B, C).

De orden 1 (un elemento) (n=1) (m=3): Solo podemos formar A-B-C → (3) → CR3,1 = 3 → que coinciden con las Combinaciones ordinarias C3,1 = 3. Es decir CR3,1 = C3, 1 (Observamos que 3 = 3+1-1).

De orden 2 (n=2): Para formarlas hacemos lo mismo que con las Combinaciones ordinarias, con la diferencia de que como se pueden repetir los elementos tendremos que añadir a cada una de las de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes.
AA-AB-AC-BB-BC-CC → (6) → CR3,2 = 6 → comprobamos que coinciden con las Combinaciones ordinarias con un elemento más (m=3+1=4) que las de orden anterior (m=3) → C4,2 = 4*3/2 = 6. Por tanto CR3,2 = C4, 2 (Observamos que 4 = 3+2-1).

De orden 3 (n=3): Para formarlas hacemos lo mismo que en el caso anterior añadiendo a cada una de las de orden dos, el mismo elemento y todos los siguientes.
AAA-AAB-AAC-ABB-ABC-ACC-BBB-BBC-BCC-CCC → (10) → CR3,3 = 10 → que es igual a las Combinaciones ordinarias con un elemento más (m=4+1=5) que las de orden anterior (m=4)→ C5,3 = (5*4*3)/(3*2) = 60/6 = 10. Luego CR3,3 = C5, 3 (Observamos que 5 = 3+3-1)

Siguiendo este procedimiento, es fácil deducir la fórmula para generalizar el cálculo de las Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n

CRm,n = Cm+n-1, n

Calcular CR6,4 → C6+4-1, 4 = C9,4 = (9*8*7*6) / (4*3*2*1) = 3024 / 24 = 126

Ejemplo ¿De cuántas formas podemos elegir tres pasteles en una pasteleria que tiene siete tipos distintos de pasteles?.

Datos. Tenemos 7 tipos de pasteles → m = 7; nos piden grupos de 3 → n = 3.
  • No importa el orden → da lo mismo nata y crema que crema y nata.
  • Sí se pueden repetir → podemos pedir 2 o 3 iguales.
  • No entran todos los pasteles → De 7 tomamos 3.
Solución.
    Serán Combinaciones con repetición y el resultado es →
  • CR7,3 = C7+3-1, 3 = V9, 3 / P3 = (9.8.7) / (3.2.1) = 504 / 6 = 84 formas.

Puede haber casos en que el número de elementos (n) de los grupos a formar tenga más elementos (m) de los que nos dan para formar dichos grupos. Es decir → n > m.

Ejemplo Queremos saber cuántas bandejas diferentes de cinco pasteles se pueden comprar en una pasteleria que solo tienen pasteles de tres tipos.

Como solo tenemos tres tipos de pasteles (m=3), para formar bandejas de cinco pasteles (n=5) será necesario que se repita alguno de los pasteles.

Observamos que en cada bandeja:
  • No Influye el orden de colocación.
  • Y se tiene que repetir algún pastel → n > m.
Por tanto serán Combinaciones con repetición → CR3,5 CR3,5 = C3+5-1, 5 = V7, 5 / P5 =
= (7.6.5.4.3) / (5.4.3.2.1) = (7.6) / (2,1) = 42 / 2 = 21 bandejas

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