De una forma intuitiva, Probabilidad es la posibilidad de que ocurra un evento o suceso determinado.
La Probabilidad es la rama de las matemáticas que se emplea para calcular numéricamente las posibilidades que hay de que ocurra un determinado suceso cuando interviene el azar.
La probabilidad es útil para estudiar fenómenos aleatorios y realizar predicciones en eventos de la vida diaria.
Un suceso o experimento se llama aleatorio cuando el resultado del mismo depende del azar. Todos sus posibles resultados son conocidos pero no se pueden determinar con anterioridad.
Ejemplos
En cualquier experimento aleatorio, como por ejemplo en el caso de abrir el libro de 20 páginas y comprobar el número, se pueden dar los siguientes sucesos:
Elementales ⇒ Tienen un solo resultado. Cada uno de los resultados posibles. Que el número de la página sea 18.
Compuestos ⇒ Tienen varios resultados. Conjunto de sucesos elementales. Que el número sea par y mayor de 7.
Compatibles ⇒ Pueden ocurrir a la vez. Que el número sea un múltiplo de 3 y número par.
Incompatibles ⇒ No pueden ocurrir a la vez. Que el número sea un 5 o un 7.
Seguros ⇒ Abarca todos los resultados posibles (espacio muestral). Que el número esté comprendido entre 1 y 20.
Imposibles ⇒ No contiene ningún suceso elemental. Que el número de la página sea mayor de 25.
Dependientes ⇒ La ocurrencia de un suceso influye en la probabilidad del otro.
Independientes ⇒ La ocurrencia de un suceso influye en la probabilidad del otro.
Contrario de A ⇒ Suceso que ocurre cuando no ocurre A. (Se representa como A̅ )
Las propiedades de la probabilidad son las reglas fundamentales que rigen el cálculo de la posibilidad de que ocurra un evento.
Propiedad fundamental ⇒ La probabilidad de cualquier suceso es un número comprendido entre 0 y 1.
Probabilidad del suceso seguro ⇒ La probabilidad de un suceso seguro es 1.
Probabilidad del suceso imposible ⇒ La probabilidad de un suceso imposible es 0.
Probabilidad del suceso contrario de A ⇒ La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad de ese suceso. P (A̅) = 1 − P(A).
Para calcular la probabilidad de un suceso aleatorio elemental aplicamos la Regla de Laplace que dice: "La probabilidad de un suceso aleatorio, donde todos los casos tienen igual posiblidad de salir, es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles" (casos totales).
Ejemplo 1 Lanzar un dado, que tiene un número del 1 al 6 en cada cara y calcular la probabilidad de que salga un número par.
En la cara superior solo podrá salir un número cualquiera de los seis casos posibles (6) que tiene en total el dado. T = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Si ahora queremos calcular la probabilidad de que nos salga, por ejemplo, un número par, lo primero que tenemos que hacer es ver cuantos números pares, casos favorables, hay en el conjunto T. Los números pares del conjunto T son tres ⇒ (2, 4, 6), luego tenemos casos favorables = 3.
Como los casos favorables son 3 y los posibles son 6, la probabilidad de sacar un número par es ⇒
P(par) = 3/6 = 0.5 (Equivale a un 50 %)
Ejemplo 2 Una bolsa contiene bolas del mismo tamaño de diferentes colores. Si 10 de ellas son amarillas, 8 rojas y 4 verdes, calcular la probabilidad de que al extraer una bola al azar, la bola sea amarilla, la probabilidad de que la bola sea verde y la probabilidad de que no sea verde.
Las bolas de la bolsa son 10 amarillas, 8 rojas y 4 verdes, en total son 22 bolas. Luego hay casos posibles = 22 Sacar bola amarilla ⇒ Como hay 10 bolas amarillas, los casos favorables = 10. P(amarilla) = 10/22 = 0.45 (45 %) Sacar bola verde ⇒ Como hay 4 bolas verdes, los casos favorables son 4. P(verde) = 4/22 = 0.18 (18 %) Sacar bola que no sea verde ⇒ Si no es verde tendrá que ser amarilla o roja, luego los casos favorables son 10 amarillas más 8 rojas = 18 (no verdes). P(no verde) = 18/22 = 0.82 (82 %) Este es el caso de la probabilidad de un valor contrario, P(no verde) ⇒ P(V̅) = 1 − P(V); Como se puede observar la P(V̅) = 1 − P(V) ⇒ 1 − 0.18 = 0.82
Las operaciones con sucesos son una parte importante de la teoría de la probabilidad. Como un suceso es un subconjunto del espacio muestral, podemos aplicar perfectamente la teoría de conjuntos.
En las operaciones con sucesos es importante tener en cuenta el principio de inclusión y exclusión que se emplea para encontrar el tamaño de la unión de varios conjuntos, sumando los elementos de cada conjunto individual y restando los elementos que se repiten (sus intersecciones), para así evitar el doble conteo.
Ejemplo En una clase hay 45 alumnos que tienen bicicleta, 25 alumnos que tienen patinete y 10 alumnos que tienen bicicleta y patinete. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
Sumamos los alumnos que tienen bicicleta (45) y los alumnos que tienen patinete (25), pero los alumnos que tienen las dos cosas (10) ya están contados, luego hay que restarlos.
Alumnos que hay en la clase ⇒ 45 + 25 - 10 = 60 alumnos
Las operaciones con sucesos son Unión, Intersección y Diferencia
La unión de dos sucesos A y B, de un experimento aleatorio, es igual a otro suceso C, que ocurre siempre que lo haga A o que lo haga B o lo hagan ambos.
Significa que ocurra A o B. Se representa A ∪ B = C
Ejemplo Si el suceso A = {2,3,5,8} y el suceso B = {1,3,4,6,8}, calcular el suceso A ∪ B
La intersección de dos sucesos A y B, de un experimento aleatorio, es igual a otro suceso C, que ocurre siempre que lo haga A y B a la vez.
Significa que ocurra A y B. Se representa A ∩ B = C
Ejemplo Si el suceso A = {1, 2, 3, 5, 6} y el suceso B = {2, 4, 6, 7, 8}, calcular el suceso A ∩ B
La Diferencia de dos sucesos A y B, es igual a otro suceso C, que contiene a todos los elementos de A que no son de B.
Significa que ocurra A y no B. Se representa A − B = C
Ejemplo Si el suceso A = {1, 2, 3, 5, 6, 9} y el suceso B = {2, 4, 6, 7, 8}, calcular el suceso A − B
Los sucesos compuestos son aquellos que tienen varios resultados. Son un conjunto de sucesos elementales, Pueden ser compatibles o incompatibles.
Dos sucesos A y B son compatibles cuando tienen algún elemento común. Por lo tanto, la probabilidad de su intersección debe ser distinta de 0 ⇒ 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) ≠ 𝟎. Para calcular la probabilidad de las operaciones con sucesos que son compatibles se aplican las formulas siguientes:
Ejemplo 1 En un Colegio el 50% de los alumnos hablan francés, el 45% inglés y el 30% las dos lenguas. ¿Cual es la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, hable francés o hable inglés?.
Nos piden la probabilidad de que el alumno hable francés (F) o hable inglés (I). Esto equivale a la probabilidad de la unión de los sucesos, que hable francés o hable ingles. (Hay que tener en cuenta que los que hablan las dos lenguas ya están incluidos en los que hablan una de ellas.)
Si el 50% hablan francés, la probabilidad de frances ⇒ P(F) = 0.50
Si el 45% hablan inglés, la probabilidad de inglés ⇒ P(I) = 0.45
Si el 30% hablan las dos, la probabilidad de frances o inglés ⇒ P(F ∩ I) = 0.30
Aplicamos la fórmula de la unión de sucesos compatibles ⇒ P(F U I) = 0.50 + 0.45 − 0.30 = 0.65 (65 %).
Ejemplo 2 Una bolsa contiene bolas del mismo tamaño con los números: {2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 13}. Consideremos los siguientes sucesos elementales. El suceso I, que al extraer una bola salga un número impar. El suceso M, que al extraer una bola salga un número mayor de 6. Calcular la probabilidad de que al extraer una bola el número sea impar o mayor de 6.
Nos piden la probabilidad de que al extraer una bola, salga un número impar (I) o mayor que 6 (M), es decir de la unión de los sucesos I o M ⇒ P(I U M).
El total de bolas de la bolsa es 8, luego hay 8 casos posibles. Calculamos la probabilidad del suceso Impar, I = {3, 5, 11, 13}. Hay 4 casos favorables. Probabilidad del suceso I ⇒ P(I) = 4/8 = 0.50
Calculamos la probabilidad del suceso M (>6), M = {8, 11, 13}. Hay 3 casos favorables. Probabilidad del suceso M ⇒ P(M) = 3/8 = 0.375
Calculamos la probabilidad del suceso I y M (impar y >6), I ∩ M = {11, 13}.
Hay 2 casos favorables. La probabilidad del suceso I y M ⇒ P(I ∩ M) = 2/8 = 0.25
Aplicamos la fórmula de la unión de sucesos compatibles ⇒
P(I U M) = 0.50 + 0.375 − 0.25 = 0.625 (62,5 %)
Dos sucesos A y B son incompatibles si no tienen ningún elemento común. Por lo tanto, la probabilidad de su intersección debe ser 0 ⇒ P(A ∩ B) = 0 Las fórmulas para calcular la probabilidad de los sucesos incompatibles son:
Ejemplo 1 Una bolsa contiene bolas del mismo tamaño con los números: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Consideremos los siguientes sucesos elementales. El suceso I, que al extraer una bola salga un número impar. El suceso P, que al extraer una bola salga un número par. ¿Cual es la probabilidad de que al extraer una bola el número sea impar o par?.
Ejemplo 2 Una baraja española que consta de 40 cartas, tiene cuatro palos: oros, copas, espadas y bastos. Cada palo tiene 10 cartas de las cuales 7 son números y 3 son figuras: la sota, el caballo y el rey. Al extraer una carta al azar, consideremos los siguientes sucesos. El suceso C que la carta sea de Copas. El suceso B que la carta sea de Bastos. ¿Cual es la probabilidad de que al extraer una carta esta sea de Copas o de Bastos?
Los sucesos condicionales son aquellos en los que la ocurrencia de un suceso A depende de que haya ocurrido previamente otro suceso B. Esto indica que el espacio muestral para A se reduce al espacio de B, reflejando la influencia del suceso conocido B sobre el desconocido A.
La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un suceso A, sabiendo que otro suceso B ya ha ocurrido previamente. Se representa como P(A|B), que se lee "la probabilidad de A dado B".
El suceso B modifica la probabilidad del suceso A. Esto implica que ambos sucesos no son independientes, ya que el conocimiento de uno afecta a la probabilidad del otro.
La fórmula de la probabilidad condicional es P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), donde: P(A|B) es la probabilidad del suceso A teniendo en cuenta que el sucesos B ya ha ocurrido. P(A ∩ B) es la probabilidad de que ambos sucesoss A y B ocurran juntos. P(B) es la probabilidad de que ocurra el sucesos B. De esta fórmula, despejando P(A ∩ B) obtenemos que P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B).
Ejemplo 1 Al finalizar el curso el 80 % de los alumnos han aprobado matemáticas, el 60 % aprobaron química y el 20 % aprobaron las dos asignaturas. Si un alumno aprobó matemáticas, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también química?
Ejemplo 2 En un Colegio al 21% de los alumnos les gusta el fútbol y el tenis mientras que al 75% de ellos les gusta sólo el fútbol. ¿Cuál es la probabilidad de que a un alumno, elejido al azar, que le gusta el fútbol le guste también el tenis?.