Determinantes

En Matemáticas, un determinante es un número real asociado al valor de una matriz cuadrada (que tiene igual número de filas que de columnas), y se utiliza principalmente para resolver Sistemas de Ecuaciones y calcular volúmenes o áreas.

Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen las mismas incógnitas y buscan soluciones comunes que satisfagan todas las ecuaciones a la vez.

Primero aprenderemos a calcular el valor de un determinante para poder resolver los sistemas de ecuaciones.

El matemático francés Pierre Frédéric Sarrus publicó un artículo en el que daba a conocer un procedimiento muy fácil para calcular el valor de un determinante de tres filas y tres columnas. Este procedimiento se conoce como La Regla de Sarrus.

Aplicación de la Regla de Sarrus

Para calcular el valor de un determinante, de tres filas y tres columnas, se procede como sigue:

Sumamos los productos de los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto (color azul) y restamos los productos de los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto (color rojo).

Por extensión, este procedimiento también se puede emplear para calcular el valor de un determinante de orden 2.

El valor del determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal (color azul) menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria (color rojo). Valor del determinante = (a1 x b2) - (b1 x a2)

Resolver Sistemas de Ecuaciones

Para resolver un sistema de ecuaciones, (encontrar los valores de las incógnitas que hacen que se cumplan las ecuaciones del sistema), se suelen emplear los Métodos de sustitución, igualación o reducción.

El matemático suizo Gabriel Cramer dió a conocer un nuevo método para resolver los sistemas de ecuaciones lineales por determinantes, conocido como Método de Cramer.

Este método o Regla de Cramer permite resolver sistemas de ecuaciones lineales, que tienen una única solución.

Este procedimiento solo se puede emplear cuando los sistemas de ecuaciones tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y además, el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Aplicación del Método de Cramer

Sistemas de orden 2

Lo primero que hay que hacer es formar los determinantes que necesitamos para resolver el sistema y calcular sus valor. Como es de orden 2, necesitaremos 3 determinantes.

Determinante del sistema → △s, (formado por los coeficientes de las incógnitas). △s = (a1 x b2) - (b1 x a2).    Si △s = 0 el sistema no tiene solución.

Determinante de X → △x, (formado al sustituir los coeficientes de la X por el término independiente ). △x = (t1 x b2) - (b1 x t2).

Determinante de Y → △y, (formado al sustituir los coeficientes de la y por el término independiente ). △y = (a1 x t2) - (t1 x a2).

Una vez calculado el valor de los tres determinantes, el valor de cada incógnita es igual al valor de su determinante dividido por el valor del determinate del sistema.

Sistemas de orden 3

Como en el caso anterior, lo primero que hacemos es formar los determinantes que necesitamos para resolver el sistema, que ahora son cuatro, al ser de orden 3 y tener una incógnita más (Determinante del sistema, Determinante de X, Determinante de Y y Determinante de Z) y calculamos su valor.

Determinante del sistema → △s, (formado por los coeficientes de las incógnitas). △s = (a1 x b2 x c3) + (a2 x b3 x c1) + (a3 x c2 x b1) - (c1 x b2 x a3) - (c2 x b3 x a1) - (c3 x a2 x b1);  Si △s = 0 el sistema no tiene solución.

Determinante de X → △x, (formado al sustituir los coeficientes de la X por el término independiente). △x = (t1 x b2 x c3) + (t2 x b3 x c1) + (t3 x c2 x b1) - (c1 x b2 x t3) - (c2 x b3 x t1) - (c3 x t2 x b1).

Determinante de Y → △y , (formado al sustituir los coeficientes de la Y por el término independiente). △y = (a1 x t2 x c3) + (a2 x t3 x c1) + (a3 x c2 x b1) - (c1 x t2 x a3) - (c2 x t3 x a1) - (c3 x a2 x b1).

Determinante de Z → △z, (formado al sustituir los coeficientes de la Z por el término independiente). △z = (a1 x b2 x t3) + (a2 x b3 x t1) + (a3 x t2 x b1) - (t1 x b2 x a3) - (t2 x b3 x a1) - (t3 x a2 x b1).

Una vez calculado el valor de los cuatro determinantes, el valor de cada incógnita es igual al valor de su determinante dividido por el valor del determinate del sistema.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Sistemas de orden n

Para calcular el valor de un determinante, de matriz cuadrada de orden n, lo más práctico es usar el Teorema de Laplace que afirma que el valor del determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una linea cualquiera (fila o columna) por su Adjunto respectivo.
Con este Teorema se reduce un determinante de orden n, a n determinantes de orden n-1. Aplicandolo de forma sucesiva, se puede llegar a determinantes de orden 3 que son más faciles de recolver.

Aplicando este procedimiento se pueden resolver los sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Para ello, es necesario conocer los conceptos de Menor Complementario y Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada.

En una matriz cuadrada de orden n, el Menor Complementario de un elemento es el valor del determinante de orden n - 1, que se obtiene al suprimir la fila y la columna donde está ese elemento.

El Menor complementario de a31, es el valor del determinante, de orden 2, que se obtiene al suprimir la fila 3 y la columna 1. Su valor es: Mc de a31 = (a1 2 x a2 3) - (a1 3 x a2 2).

Ejemplo 1   Calcular el Menor Complementario del elemento 4 del determinmante siguiente:

El 4 está en la fila 1, columna 2. El Menor complementario de 4 es el valor del determinante, de orden 2, que se obtiene al suprimir la fila 1 y la columna 2. Su valor es: Mc de 4 = (3 x 8) - (5 x 2) = 24 - 10 = 14.

El Adjunto de un elemento es igual (-1) elevado (a la suma del número de la fila más el número de la columna donde está el elemento) multiplicado por su Menor Complementario.

Ejemplo 2   Calcular el Adjunto del elemento 4 del determinmante anterior:

El Valor de un determinmante por Laplace es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una linea cualquiera (fila o columna) por su Adjunto respectivo.

Ejemplo 3   Calcular el valor del determinmante anterior por Laplace:

A continuación te facilitamos la posibilidad de calcular el valor de un determinante de orden 3. Para ello, introduce los valores correspondiemtes a los elementos de cada fila y después pulsa en "Calcular".
Para saber el de otros determinantes, repite el proceso.