Círculo y Circunferencia
La Circunferencia es una línea curva cerrada y plana, en la cual todos los puntos de dicha línea están a la misma distancia de un punto central llamado Centro.
El Círculo es el espacio o superficie que hay dentro de una circunferencia.
Para evitar confusiones, hay que tener claros los conceptos de Circunferencia y Círculo.
Tambien podemos considerar que la Circunferencia es el Perímetro de un polígono de infinitos lados y el Círculo es el Área de dicho polígono.
Elementos de la Circunferencia
En la Circunferencia hay elementos singulares que veremos a continuación.
Centro ⇒ Punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia.
Radio ⇒ Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Diámetro ⇒ Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
Cuerda ⇒ Segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Secante ⇒ Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente ⇒ Recta que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Arco ⇒ Segmento curvilíneo entre dos puntos pertenecientes a la circunferencia.
Ángulos de una Circunferencia
| Ángulo Central ⇒ Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. Su medida es igual a la medida angular del arco correspondiente. | ||
| Ángulo Inscrito ⇒ Tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Su medida es igual a la mitad de la medida angular del arco que abarca. | ||
| Ángulo Semiinscrito ⇒ Tiene su vértice en la circunferencia, un lado es secante y el otro tangente a la circunferencia. Su medida es igual a la mitad de la medida angular del arco que abarca. | ||
| Ángulo Interior ⇒ Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Su medida es igual a la mitad de la suma de las medidas angulares de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de los mismos. | ||
| Ángulo Exterior ⇒ Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados pueden ser: o los dos secantes, o uno tangente y otro secante, o los dos tangentes a la circunferemcia. Su medida es igual a la mitad de la medida angular del arco mayor menos el arco menor. | ||
Longitud de una Circunferencia
Desde la antigüedad se sabe que la razón (relación) entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un valor constante. Veamos los siguentes ejemplos:
Esta relación se mantiene constante para todas las circunferencias, y por esto 3,14159... es uno de los números más importantes de las matemáticas (es un número irracional de infinitas cifras decimales).
Se conoce como "pi", y lo escribimos con la letra griega π.
Con la fórmula → L / d = π , teniendo en cuenta que el diámetro es igual a dos veces el radio (d = 2 r), despejando L y sustituyendo obtenemos → L / d = π → L = π d → L = π 2 r
L = 2 π r
Fórmula que nos permite calcular la longitud de cualquier circunferencia conociendo su radio.(Para facilitar las operaciones, en los ejemplos tomaremos el valor de "pi" con solo dos decimales → π = 3,14)
L = 2 π r → L = 2 x 3,14 x 8 = 50,24 cm
Longitud de un Arco de Circunferencia
Un arco de circunferencia tiene el mismo valor angular que el ángulo central correspondiente y una circunferencia tiene un valor angular de 360º.
Es decir, a la longitud de la circunferencia (L) le corresponden 360º y a la longitud de un arco (la) le corresponde el valor del ángulo central (ߺ) correspondiente.
Por tanto, podemos establecer la relación ⇒ L es 360º como la es ߺ, de donde se deduce que:
la = (L x ߺ) / 360º
Con esta formula podemos calcular la longitud de un arco de circunferencia, conociendo el valor angular del arco (igual al ángulo central correspondiente) y la longitud de la misma o el valor de su radio.En la fórmula → la = (L x ߺ) / 360º sustituimos los valores dados
la = (31,42 x 40º) / 360º = 1256,80 / 360 = 3,49 cm
La longitud de la circunferencia es → L = 2 π r → L = 2 x 3,14 x 4 = 25,12 cm
En la fórmula → la = (L x ߺ) / 360º sustituimos los valores dados.
la = (25,12 x 60º) / 360º = 1507,2 / 360 = 4,19 cm
Área del Círculo
El círculo se puede considerar un polígono regular de infinitos lados, por lo que para calcular su área podemos aplicar la fórmula general del área del polígono regular → A = (P x a) / 2 .
El Perímetro es la longitud de la circunferencia → P = 2 π r y la apotema es igual al radio a = r. Sustituyendo estos valores en la fórmula → A = (2 π r r) / 2 = π r2 nos queda:
A = π r2
Fórmula que nos permite calcular el Área de cualquier círculo conociendo su radio.En la fórmula → A = π r2 sustituimos r y π por sus valores.
A = 3,14 x 52 = 3,14 x 25 = 78,5 cm2
Elementos del Círculo
La definición dada para los elementos y los ángulos de la circunferencia es aplicable al círculo al ser la circunferencia parte del círculo. La Circunferencia es el Perímetro del Círculo.
El círculo, al ser una figura plana, tiene unos Elementos Propios que veremos a continuación.
Semicírculo ⇒ Porción de círculo limitada por un diámetro y su arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.Área → Asemicirculo = (π r2) / 2 | ||
Sector circular ⇒ Porción de círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente. (ߺ = valor del ángulo). Área → Asector = π r2 ߺ / 360º | ||
Segmento circular ⇒ Parte del círculo limitada por una cuerda y su arco. (ߺ = valor del ángulo) Área → Asegmento = r2 (ߺ - sen ߺ) / 2 | ||
Corona circular ⇒ Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas. (R = radio mayor, r = radio menor)Área → Acorona = π (R2 - r2) | ||
Trapecio circular ⇒ Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular. (R = radio mayor, r = radio menor, ߺ = valor del ángulo)Área → Atrapecio = π (R2 - r2) ߺ / 360º | ||
Las fórmulas de los elementos anteriores nos permiten calcular su Área conociendo los datos necesarios.
En la fórmula → Asector = π r2 ߺ / 360º sustituimos r y ß por sus valores
Asector = 3,14 x 82 x 60º / 360º = 3,14 x 64 / 6 = 33,49 cm2
En la fórmula → Atrapecio = π (R2 - r2) ߺ / 360º sustituimos R, r y ß por sus valores.
Atrapecio = 3,14 x (72 - 42) x 45º / 360º = 3,14 x 33 / 8 = 12,95 cm2
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