Aprende las Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

En general, dada una función y = f (x) podemos encontar otra función y ' = f ' (x) a la que llamaremos derivada de f (x).

La forma de hallar la derivada de un función depende del tipo de función.

Reglas de Derivación

Función de grado n

Dada la función y = x n su derivada es → y ' = n x n-1.
Para n= 1 → y = x → y ' = 1 x1-1 = 1 x0 = 1 → y ' = 1.
Para una constante k → y = k = k x0 → y ' = 0 * k x0-1 = 0 → y ' = 0.

Hallar las siguientes derivadas
Y = 4 X 3 → Y ' = 3*4 X 3-1→ Y ' = 12 X 2
Y = X 1/2 → Y ' = 1/2 X 1/2-1→ Y ' = 1/2 X -1/2

Suma de funciones
La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas.

Siendo y = f (x) + g (x) la derivada de y será → y ' = f ' (x) + g ' (x)

Hallar la derivada de y = f (x) + g (x) siendo:
f (x) = 2 X4 + 3 X2→ g (x) = 7 X → Y = (2 X4 + 3 X2) + (7 X)
 Y ' = (4*2 X4-1 + 2*3 X2-1) + (1*7 X1-1) = (8 X3 + 6 X1 ) + (7 X0) →
Y ' = 8 X3 + 6 X + 7

Producto de dos funciones
La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función sin derivar más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función sin derivar.

Si y = f (x) * g (x) la derivada de y será → y ' = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x)

Hallar la derivada de y = f (x) * g (x) siendo:
f (x) = 2 X5→ g (x) = 4 X3 + 3 X → Y = (2 X5) * (4 X3 + 3 X)
Y ' = [(5*2 X5-1) * (4 X3 + 3 X)] + [(3*4 X3-1 + 1*3 X1-1) * (2 X5)] →
Y ' = [(10 X4) * (4 X3 + 3 X)] + [(12 X2 + 3) * (2 X5)] →
Y ' = (10*4 X4+3 + 10*3 X4+1) + (12*2 X2+5 + 3*2 X5) →
Y ' = 40 X7 + 24 X7 + 30 X5 + 6 X5→ Y ' = 64 X7 + 36 X5

Cociente de dos funciones
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador multiplicada por el denominador (sin derivar) menos la derivada del denominador multiplicada por el numerador (sin derivar), dividido por el denominador (sin derivar) al cuadrado.

Si y = f (x) / g (x) → y ' = [(f ' (x) * g (x)) - (g ' (x) * f (x))] / (g (x))2

Hallar la derivada de y = f (x) / g (x) siendo:
f (x) = 2 X3 + 4 X→ g (x) = 4 X + 3 → Y = (2 X3 + 4 x) / (4 X + 3)
Y ' = [(3*2 X3-1 + 1*4 X1-1) * (4 X + 3) - (1*4 X1-1 + 0) * (2 X3 + 4 X)] / (4 X + 3)2→
Y ' = [(6 X2 + 4) * (4 X + 3) - 4 * (2 X3 + 4 X)] / (16 X2 + 24 X + 9) →
Y ' = (16 X3 + 18 X2 + 12) / (16 X2 + 24 X + 9)