Aprende a Resolver Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

En Matemáticas, un determinante es un número real asociado a las matrices cuadradas. Vamos a aprender a calcular el valor de un determinante para resolver los sistemas de ecuaciones.

El matemático francés Pierre Frédéric Sarrus publicó un artículo en el que daba a conocer un procedimiento muy fácil para calcular el valor de un determinante de tres filas y tres columnas. Este procedimiento se conoce como La regla de Sarrus.

Aplicación de la Regla de Sarrus

Para calcular el valor de un determinante, de tres filas y tres columnas, se procede como sigue:

   Sumamos los productos de los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto (color azul) y restamos los productos de los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto (color rojo).
Valor del determinante = (a1 x b2 x c3) + (a2 x b3 x c1) + (b1 x c2 x a3) - (c1 x b2 x a3) - (c2 x b3 x a1) - (b1 x a2 x c3).

Por extensión, este procedimiento también se puede emplear para calcular el valor de un determinante de orden 2.

   El valor del determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal (color azul) menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria (color rojo).
Valor del determinante = (a1 x b2) - (b1 x a2)


Resolver Sistemas de Ecuaciones por determinantes

Para resolver un sistema de ecuaciones, (encontrar los valores de las incógnitas que hacen que se cumplan las ecuaciones del sistema), se suelen emplear los Métodos de sustitución, igualación o reducción.

El matemático suizo Gabriel Cramer dió a conocer un nuevo método para resolver los sistemas de ecuaciones lineales por determinantes, conocido como Método de Cramer.
Este procedimiento se emplea cuando el sistema es cuadrado (tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones) y además el determinante del sistema (formado por los coeficientes de las incógnitas) es distinto de cero.

Aplicación del Método de Cramer

Sistemas de orden 2.
Resolver el siguiente sistema:

a1X + b1Y = t1
a2X + b2Y = t2

Lo primero que hacemos es formar los tres determinantes que necesitamos para resolver el sistema (Determinante del sistema, Determinante de X y Determinante de Y) y calculamos su valor.

Determinante del sistema ⇒ △s, (formado por los coeficientes de las incógnitas).
△s = (a1 x b2) - (b1 x a2).⇒ Si △s = 0 el sistema no tiene solución.

Determinante de X ⇒ △x, (formado al sustituir los coeficientes de la X por el término independiente).
△x = (t1 x b2) - (b1 x t2).

Determinante de Y ⇒ △y, (formado al sustituir los coeficientes de la Y por el término independiente).
△y = (a1 x t2) - (t1 x a2).

Una vez calculado el valor de los determinantes, el valor de las incógnitas será:

X = △x / △s      Y = △y / △s


Sistemas de orden 3.
Resolver el siguiente sistema:

a1X + b1Y + c1Z = t1
a2X + b2Y + c2Z = t2
a3X + b3Y + c3Z = t3

Como en el caso anterior, lo primero que hacemos es formar los determinantes que necesitamos para resolver el sistema, que ahora son 4, al tener una incógnita más (Determinante del sistema, Determinante de X, Determinante de Y y Determinante de Z) y calculamos su valor.

Determinante del sistema ⇒ △s, (formado por los coeficientes de las incógnitas).
△s = (a1 x b2 x c3) + (a2 x b3 x c1) + (b1 x c2 x a3) - (c1 x b2 x a3) - (c2 x b3 x a1) - (b1 x a2 x c3);⇒ Si △s = 0 el sistema no tiene solución.

Determinante de X ⇒ △x, (formado al sustituir los coeficientes de la X por el término independiente).
△x = (t1 x b2 x c3) + (t2 x b3 x c1) + (b1 x c2 x t3) - (c1 x b2 x t3) - (c2 x b3 x t1) - (b1 x t2 x c3).

Determinante de Y ⇒ △y, (formado al sustituir los coeficientes de la Y por el término independiente).
△y = (a1 x t2 x c3) + (a2 x t3 x c1) + (t1 x c2 x a3) - (c1 x t2 x a3) - (c2 x t3 x a1) - (t1 x a2 x c3).

Determinante de Z ⇒ △z, (formado al sustituir los coeficientes de la Z por el término independiente).
△z = (a1 x b2 x t3) + (a2 x b3 x t1) + (b1 x t2 x a3) - (t1 x b2 x a3) - (t2 x b3 x a1) - (b1 x a2 x t3).

Una vez calculado el valor de los determinantes, el valor de las incógnitas será:

X = △x / △s      Y = △y / △s      Z = △z / △s


Sistemas de orden n

Con este método se puede resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Para ello, es necesario conocer los conceptos de Menor Complementario y Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada.

En una matriz cuadrada de orden n, el Menor Complementario de un elemento es el valor del determinante, de orden n - 1, obtenido al suprimir la fila y la columna donde está ese elemento.

El Menor complementario de a31, es el valor del determinante, de orden 2, que se obtiene al suprimir la fila 3 y la columna 1.
Su valor es: Mc de a31 = (a1 2 x a2 3) - (a1 3 x a2 2).

Ejemplo: Calcular el Menor Complementario del elemento 4

El 4 está en la fila 1, columna 2.
El Menor complementario de 4 es el valor del determinante, de orden 2, que se obtiene al suprimir la fila 1 y la columna 2.
Su valor es: Mc de 4 = (3 x 8) - (5 x 2) = 24 - 10 = 14.

El Adjunto de un elemento es igual (-1) elevado (a la suma del número de la fila más el número de la columna donde está el elemento) multiplicado por su Menor Complementario.

Ejemplo: Calcular el Adjunto del elemento 4

El Adjunto del elemento 4 es igual a (-1)1+2 multiplicado por el Menor Complementario de 4
Ad de 4 = (-1)3 * 14 = (-1) * 14 = - 14


El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una línea (fila o columna) cualquiera por su adjunto respectivo.

A continuación te facilitamos la posibilidad de calcular el valor de un determinante de orden 3. Para ello, introduce en los recuadros los elementos de cada fila y después pulsa en "Calcular". Para saber el de otros determinantes, repite el proceso.

¿De qué Determinante quieres calcular el Valor?

Fila 1         
Fila 2      
Fila 3