Triángulos

Un triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos.
Un triángulo equivale a la porción de plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Un triángulo está formado por: 3 Vértices (punto en que coinciden los lados, se nombran con letras mayúsculas); 3 Lados (cada una de las semirectas, se nombran con la letra del vértice opuesto en minúscula);

3 Ángulos interiores (abertura que hay entre los lados, se nombran con la letra de los vértices correspondientes con un circunflejo ^ sobre la letra).


Propiedades de los Triángulos

En todo triángulo se cumplen siempre las siguientes propiedades:

1ª ⇒ La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
2ª ⇒ Si en un triánulo dos de sus ángulos son iguales, los lados opuestos también serán iguales.
3ª ⇒ La longitud de cada uno de los lados de un triágulo es menor que la suma de los otros dos.
4ª ⇒ La longitud de un lado cualquiera es mayor que la diferencia entre los otros dos.
5ª ⇒ Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él.

Clases de Triángulos

Los triángulos se clasifican en función de sus lados y de sus ángulos.

Según sus lados


←— Equilátero ⇒ Tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales.
←— Isósceles ⇒ Tiene dos lados iguales y uno desigual.
←— Escaleno ⇒ Tiene todos sus lados desiguales.


Según sus ángulos

←— Acutángulo ⇒ Tiene sus tres ángulos agudos, (menores de 90º).

←— Rectángulo ⇒ Tiene un ángulo recto (90º). Los lados del ángulo recto
se llaman catetos, y el lado opuesto hipotenusa.
←— Obtusángulo ⇒ Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º) y dos agudos.


Rectas y Puntos Notables de los Triángulos

Base La Base de un triángulo es el lado sobre el que se apoya el triángulo, cualquiera de los lados puede serlo.

Altura La altura es la recta perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Los triángulos tienen tres alturas. El Punto donde se cortan las tres alturas se llama Ortocentro.

Bisectriz La bisectriz es la recta que divide al ángulo interior en dos ángulos iguales. Los triángulos tienen tres bisectrices. El Punto donde se cortan las tres bisectrices se llama Incentro y es el centro de la circunferencia inscrita.

Mediana La mediana es la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Los triángulos tienen tres medianas. El Punto donde se cortan las tres medianas se llama Baricentro.

Mediatriz La mediatriz es la recta perpendicular a cada lado en su punto medio. Los triángulos tienen tres mediatrices. El Punto donde se cortan las tres mediatrices se llama Circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita.


En los triángulos equiláteros los cuatro puntos notables, Ortocentro, Incentro, Baricentro y Circuncentro, coinciden en el mismo punto.

Criterios de Semejanza en los Triángulos

Proporción

Para el estudio de la semejanza de triángulos es necesario recordar que una proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene cuatro términos ordenados.

   Se lee ⇒ a es a b como c es a d.
a y d se llaman extremos ⇒ b y c medios
En toda proporción se cumple → a x d = b x c.

Criterios de semejanza

Dos triángulos son semejantes cuando se cumple alguno de los siguientes criterios:

  1º ⇒ Si tienen los tres lados proporcionales.

  2º ⇒ Si tienen los tres ángulos iguales.

  3º ⇒ Si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.


Perímetro y Área de los Triángulos

Perímetro

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
El perímetro es una medida de longitud. Para calcular el perímetro todas las medidas de los lados deberán estar en la misma unidad.

   Calcular el périmetro P del triámgulo siendo a = 7, b = 4 y c = 5
.P = a + b + c → P = 7 + 4 + 5 = 16 unidades lineales

Área

Los triángulos tienen 3 bases (según el lado en que se apoya el triángulo) y 3 alturas (perpendicular trazada desde el vértice opuesto a la base).

El Área o Superficie de un triángulo es igual al producto de la base por la altura partido por dos.

El área es una medida de superficie. Para calcular el área todas las medidas deberán estar en la misma unidad.

   Calcular el área S del triángulo siendo a = 7 y h = 4 h
S = (a x h) / 2 → S = (7 x 3) / 2 = 10.5 unidades de superficie

Triángulos Rectángulos

Los triángulos rectángulos son muy importantes en geometría porque facilitan la resolución de muchos problemas, sobre todo en los siguientes casos:

  1º ⇒ La altura de un triángulo determina dos triángulos rectángulos.

  2º ⇒ Las diagonales del cuadrado y del rectángulo forman dos triángulos rectángulos iguales.

  3º ⇒ Las diagonales del rombo determinan cuatro triángulos rectángulos iguales.


Teoremas Fundamentales

A continuación veremos los tres teoremas fundamentales de los triángulos rectángulos.

Teorema de Pitágora

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
←— Rectángulo ⇒ a → hipotenusa; b y c → catetos ⇒ se cumple que → a2 = b2 + c2

Teorema del Cateto

En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Si m es la proyección de b sobre a
se cumple ⇒
Si n es la proyección de c sobre a
se cumple ⇒

Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a esta.

Siendo ⇒ h la altura sobre la hipotenusa ⇒ m y n los segmentos en que la divide
se cumple ⇒